定义与例子

定义 (滤子)

集合 $X$ 上的**滤子（filter）**是一个集族 $\mathcal{F}$，满足

(i) 向下有向：$A, B \in \mathcal{F}$ 蕴含存在 $C \in \mathcal{F}$ 使得 $C \subseteq A \cap B$，
(ii) 非空：$\mathcal{F} \neq \varnothing$，
(iii) 向上封闭：$A \in \mathcal{F}$ 且 $A \subseteq B$ 蕴含 $B \in \mathcal{F}$。

一个额外的性质通常也很有用：
(iv) 真滤子（proper filter）：存在 $A \subseteq X$ 使得 $A \notin \mathcal{F}$。

关键观察：

  • 向下有向性与向上封闭性共同蕴含滤子在有限交下封闭；真滤子的条件等价于 $\varnothing \notin \mathcal{F}$。
  • 幂集 $2^X$ 是一个滤子，但不是真滤子。
  • 仅满足向下有向性和非空性的集族称为滤子基（filter base）。任何滤子基通过取向上闭包即可生成一个滤子。
例子

平凡滤子： 任意集合 $X$ 上的最小滤子 $\{X\}$。

尾段滤子： 对于空间 $X$ 中的序列 $\{x_n\}$：

$$\mathcal{E}_{x_n} = \{A \subseteq X \mid \exists\, N \text{ 使得对所有 } n \geq N \text{ 有 } x_n \in A\}$$

反例： 点 $x$ 的开邻域族构成滤子基，但不是真滤子。

定义 (收敛)
拓扑空间 $(X,\mathcal{T})$ 上的滤子 $\mathcal{F}$ 收敛到 $x$，当且仅当 $\mathcal{F}$ 精细于 $\mathcal{T}_x$，即 $\mathcal{T}_x \subseteq \mathcal{F}$。当 $\mathcal{F}$ 收敛到 $x$ 时，记作 $\mathcal{F} \rightarrow x$。

注： 序列收敛到 $x$ 当且仅当其尾段滤子收敛到 $x$。

主要定理

借助滤子的概念，我们给出范畴极限与拓扑极限之间的等价表述。

设 $X$ 为拓扑空间，$\mathcal{F}_X$ 为 $X$ 上所有滤子的集合。

给定 $x \in X$ 和 $F \in \mathcal{F}_X$，设 $\mathcal{U}_X(x)$ 为 $x$ 的邻域滤子，令

$$ \mathcal{F}_{x,F} = \lbrace G \in \mathcal{F}_X \mid \mathcal{F} \cup \mathcal{U}_X(x) \subseteq G \rbrace $$

为所有同时包含 $F$ 和 $x$ 的邻域滤子的滤子的集合。

我们注意到 $F \subseteq F \cup \mathcal{U}_X(x) \subseteq \bigcap_{G\in \mathcal{F}_{x,F}}G$，且后两个集合均为滤子。

此外，由于 $\bigcap_{G\in \mathcal{F}_{x,F}}G$ 是包含 $F \cup \mathcal{U}_X(x)$ 的最小滤子，而 $F \cup \mathcal{U}_X(x)$ 本身即为滤子，故 $\bigcap_{G\in \mathcal{F}_{x,F}}G \subseteq F \cup \mathcal{U}_X(x)$，从而 $\bigcap_{G\in \mathcal{F}_{x,F}}G = F \cup \mathcal{U}_X(x)$。

将集合的包含关系 “$\subseteq$” 视为 $\mathcal{F}_X$ 和 $\mathcal{F}_{x,F}$ 上的偏序，则 $\mathcal{F}_X$ 成为一个小范畴，$\mathcal{F}_{x,F}$ 是其子范畴。设 $E: \mathcal{F}_{x,F} \rightarrow \mathcal{F}_X$ 为嵌入函子。下面的定理揭示了范畴极限与拓扑极限之间的联系。

定理
$x$ 是滤子 $\mathcal{F}$ 的拓扑极限，当且仅当 $\mathcal{F}$ 是嵌入函子 $E \colon \mathcal{F}_{x,\mathcal{F}} \to \mathcal{F}_X$ 的范畴极限。
Proof
$x$ 是滤子 $F$ 的拓扑极限，即 $F \to x$
$\Leftrightarrow (\mathcal{T}_x \subseteq \mathcal{U}(x)) \subseteq F \ \text{且} \ F \cup \mathcal{U}(x) \subseteq F$
$\Leftrightarrow F = \bigcap_{G \in \mathcal{F}_{X,F}} g$ （泛对象）
$\Leftrightarrow (F \xrightarrow{p_{G}}E(G))_ {G \in \mathcal{F}_ {x,F}}$ 是 $E$ 的极限锥
（即 $F$ 是 $E$ 的范畴极限）□

参考文献