引言
一个单纯集 $X$ 可以给出几种不同的链复形：使用全部单形的非正规化链复形 $\mathrm{C}_\bullet(X)$；商掉退化单形得到的正规化链复形 $N_\bullet(X)$；以及由面映射 $d_0, \ldots, d_{n-1}$ 的核所截出的子复形，即 Moore 正规化链复形 $N\mathrm{C}_\bullet(X)$。本文的目的是用一个初等且具体的论证说明：这些链复形携带相同的同调信息。
单纯对象
我们回顾单纯形范畴与单纯对象的定义。
单纯形范畴（simplex category） $\Delta$ 是这样一个范畴：其对象为有限序数
$$[n] := \{0 < 1 < \cdots < n\}, \quad n \geq 0,$$其态射为保序（单调不减）映射 $[m] \to [n]$。 其中，余面映射（coface maps） $d^i \colon [n-1] \to [n]$（$0 \leq i \leq n$）是唯一一个不取到 $i$ 的单射；余退化映射（codegeneracy maps） $s^i \colon [n+1] \to [n]$（$0 \leq i \leq n$）是唯一一个将 $i$ 与 $i+1$ 都映到 $i$ 的满射。
设 $\mathbf{C}$ 为范畴。$\mathbf{C}$ 中的单纯对象（simplicial object） 是一个函子 $X \colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathbf{C}$。记 $X_n := X([n])$，称为 $n$-单形对象。诱导的态射
$$d_i := X(d^i) \colon X_n \to X_{n-1}, \quad s_i := X(s^i) \colon X_n \to X_{n+1}$$分别称为面映射（face maps） 与退化映射（degeneracy maps）。它们满足如下单纯恒等式（simplicial identities）：
$$ \begin{aligned} & d_k d_j = d_{j-1} d_k \quad (k\leqslant j-1),\\ & s_i s_j = s_{j+1} s_i \quad (i\leqslant j),\\ & d_k s_i = \begin{cases} s_{i-1} d_k, & k\leqslant i-1,\\ \mathrm{id}, & k=i \text{ 或 } k=i+1,\\ s_i d_{k-1}, & k \geqslant i+2. \end{cases} \end{aligned} $$单纯对象之间的态射是自然变换 $f \colon X \to Y$。由此得到的 $\mathbf{C}$ 中单纯对象的范畴记作 $\mathbf{sC}$。
集合范畴中的单纯对象称为单纯集（simplicial set），阿贝尔群范畴中的单纯对象称为单纯阿贝尔群（simplicial abelian group）。它们构成的范畴分别记作 $\mathbf{sSet}$ 与 $\mathbf{sAb}$。
同调
设 $X$ 为单纯集。非正规化链复形（unnormalized chain complex） $\mathrm{C}_\bullet(X)$ 定义为
$$\mathrm{C}_n(X) := \mathbb{Z}[X_n],$$即以 $X_n$ 为基的自由阿贝尔群，其边缘映射 $\partial_n \colon \mathrm{C}_n(X) \to \mathrm{C}_{n-1}(X)$ 在基元上定义为
$$\partial_n(\sigma) := \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \, d_i(\sigma), \quad \sigma \in X_n.$$条件 $\partial_{n-1} \circ \partial_n = 0$ 可由单纯恒等式推出。
考虑函子的复合
$$\Delta^{\mathrm{op}} \xrightarrow{X} \mathbf{Set} \xrightarrow{\mathbb{Z}[-]} \mathbf{Ab},$$它给出一个单纯阿贝尔群。非正规化链复形 $\mathrm{C}_\bullet(X)$ 正是这个单纯阿贝尔群所对应的链复形。
$X$ 的第 $n$ 个单纯同调群 定义为
$$H_n(X) := \frac{\operatorname{Ker} \partial_n}{\operatorname{Im} \partial_{n+1}}.$$$\ker \partial_n$ 中的元素称为 $n$-闭链（$n$-cycles），$\operatorname{im} \partial_{n+1}$ 中的元素称为 $n$-边缘（$n$-boundaries）。
稍后我们将看到，非正规化链复形 $\mathrm{C}_\bullet(X)$ 与正规化链复形 $N_\bullet(X)$ 的同调群是同构的，因此也可以用 $N_\bullet(X)$ 来计算 $H_n(X)$，而无需在意链复形的选取。本文参照 Goerss–Jardine。
退化子复形（degenerate subcomplex） $D_\bullet(X) \subseteq \mathrm{C}_\bullet(X)$ 定义为
$$ \begin{aligned} D_n(X) &:= \mathbb{Z}\big[\{\, s_j(\sigma) \mid \sigma \in X_{n-1},\; 0 \leq j \leq n-1 \,\}\big] \\ &= \bigcup_{i = 0}^{n-1} \operatorname{Im}(s_i), \end{aligned} $$即 $\mathrm{C}_n(X)$ 中由所有退化 $n$-单形生成的子群。由单纯恒等式可知 $\partial_n(D_n(X)) \subseteq D_{n-1}(X)$，因此 $D_\bullet(X)$ 确实是 $\mathrm{C}_\bullet(X)$ 的子复形。
正规化链复形（normalized chain complex） $N_\bullet(X)$ 定义为商复形
$$N_n(X) := \mathrm{C}_n(X)\,/\,D_n(X),$$其边缘映射由 $\partial_n$ 诱导。
Moore 正规化链复形（Moore normalized chain complex） 是 $\mathrm{C}_\bullet$ 的子复形 $N\mathrm{C}_\bullet$，定义为
$$N\mathrm{C}_n = \bigcap_{i = 0}^{n-1} \ker(d_i).$$对每个 $n$，边缘映射 $N\mathrm{C}_{n} \rightarrow N\mathrm{C}_{n-1}$ 由 $(-1)^n d_n$ 给出。
注意，由 Moore 正规化链复形的定义，边缘映射 $N\mathrm{C}_{n} \rightarrow N\mathrm{C}_{n-1}$ 也可以由 $\partial_n$ 给出。
两个链复形的比较
对每个 $j$，定义 $\mathrm{C}_n$ 的子群 $N_j\mathrm{C}_n$ 为
$$N_j \mathrm{C}_n= \begin{cases} \bigcap_{i=0}^{j-1} \ker\left(d_i\right) & j \leqslant n-1, \\ N \mathrm{C}_n & j \geqslant n, \end{cases}$$并令 $N_0\mathrm{C}_n = \mathrm{C}_n$。
直接可以看出，对所有 $n$ 有 $N_{j+1} \mathrm{C}_n \subseteq N_j \mathrm{C}_n$，且 $N \mathrm{C}_n = \bigcap_{j = 0}^\infty N_j \mathrm{C}_n$。于是有自然的包含映射 $i_j: N_{j+1} \mathrm{C}_n \rightarrow N_{j} \mathrm{C}_n$。另有一个群同态 $f_j: N_{j} \mathrm{C}_n \rightarrow N_{j+1} \mathrm{C}_n$，定义为
$$f_j(x) = \begin{cases} x - s_{j}d_j(x) & j \leqslant n-1, \\ x & j \geqslant n. \end{cases}$$容易验证每个 $f_j$ 的取值确实落在 $N_{j+1} \mathrm{C}_n$ 中。
设 $x \in N_{j+1} \mathrm{C}_n$。则当 $j \leqslant n-1$ 时 $x \in \bigcap_{i=0}^{j} \ker\left(d_i\right)$，当 $j \geqslant n$ 时 $x \in N\mathrm{C}_n$。因此
$$f_j i_j(x) = f_j(x) = \begin{cases} x - s_{j}d_j(x) = x-0 = x & j \leqslant n-1, \\ x & j \geqslant n, \end{cases}$$故两种情形下均有 $f_j i_j(x) = x$。
□由上述命题可知，$N_{j+1} \mathrm{C}_n$ 是 $N_{j} \mathrm{C}_n$ 的直和项，且 $f_j$ 是到 $N_{j+1} \mathrm{C}_n$ 上的投影。
对每个固定的 $j$，定义群同态 $t_j: N_j\mathrm{C}_n \rightarrow N_j\mathrm{C}_{n+1}$ 为
$$t_j(x) = \begin{cases} (-1)^j s_j(x) & j \leqslant n, \\ 0 & j \geqslant n+1. \end{cases}$$映射 $t_j: N_j\mathrm{C}_n \rightarrow N_j\mathrm{C}_{n+1}$ 给出了恒等态射 $\operatorname{id}: N_j \mathrm{C}_n \rightarrow N_j \mathrm{C}_n$ 与 $i_jf_j: N_j \mathrm{C}_n \rightarrow N_j \mathrm{C}_n$ 之间的链同伦，即
$$\partial t_j + t_j \partial = \operatorname{id} - i_jf_j.$$我们在 $N_j \mathrm{C}_n$ 上计算 $\partial t_j + t_j \partial$。当 $j \leqslant n-1$ 时，利用单纯恒等式以及对所有 $k \in \{0,1, \ldots , j-1\}$ 有 $d_k(x) = 0$ 这一条件，得
$$ \begin{aligned} (\partial t_j + t_j \partial) (x) & = \sum_{k = 0}^{n+1} (-1)^k d_k (-1)^j s_j(x) + (-1)^j s_j \sum_{k = 0}^{n}(-1)^k d_k (x) \\ & = \sum_{k = 0}^{n+1}(-1)^{j+k} d_k s_j(x) + \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{j+k} s_j d_k (x) \\ & = \sum_{k = 0}^{j-1} (-1)^{j+k} s_{j-1} d_k (x) + \sum_{k = j}^{j+1} (-1)^{j+k} x \\ & \qquad + \sum_{k = j+2}^{n+1} (-1)^{j+k} s_jd_{k-1}(x) + \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{j+k} s_j d_k (x) \\ & = 0 + 0 + \sum_{k = j+1}^{n} (-1)^{j+k+1} s_jd_k(x) + \sum_{k = j}^{n}(-1)^{j+k}s_j d_k (x) \\ & = s_jd_j (x) + \sum_{k = j+1}^{n} \bigl((-1)^{j+k+1} + (-1)^{j+k}\bigr) s_jd_k(x) \\ & = s_jd_j (x) \\ & = x - f_j(x) = (\operatorname{id} - i_jf_j)(x). \end{aligned} $$其中第一个和式为零是因为当 $k \leqslant j-1$ 时 $d_k(x) = 0$；$k = j, j+1$ 的两项相互抵消；第三个等号右侧最后一个和式中 $k \leqslant j-1$ 的项同理为零。
当 $j \geqslant n$ 时，在 $N_j\mathrm{C}_n$ 上有 $\operatorname{id} - i_jf_j = 0$。若 $j \geqslant n+1$，则 $t_j$ 在 $n$ 次与 $n-1$ 次上均为零，故 $\partial t_j + t_j\partial = 0$。若 $j = n$，则由于 $\partial(x) \in N_j\mathrm{C}_{n-1}$ 且 $j \geqslant (n-1)+1$，有 $t_j\partial(x) = 0$；同时 $\partial t_j(x) = (-1)^n \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k d_k s_n(x) = 0$，因为 $k \leqslant n-1$ 的项等于 $s_{n-1}d_k(x) = 0$，而 $k = n, n+1$ 的两项相互抵消。因此在所有次数上均有 $\partial t_j + t_j \partial = \operatorname{id} - i_jf_j$。
□于是我们得到链复形 $\{N_j\mathrm{C}_\bullet\}_{j = 0}^{n-1}$ 之间的一串同伦等价：
$$ \begin{aligned} \mathrm{C}_n = N_0\mathrm{C}_n & \;\underset{i_0}{\overset{f_0}{\rightleftarrows}}\; N_1\mathrm{C}_n \;\underset{i_1}{\overset{f_1}{\rightleftarrows}}\; N_2\mathrm{C}_n \;\underset{i_2}{\overset{f_2}{\rightleftarrows}}\; \cdots \;\underset{i_{n-2}}{\overset{f_{n-2}}{\rightleftarrows}}\; N_{n-1}\mathrm{C}_n = N\mathrm{C}_n \end{aligned} $$进一步，对每个 $j$，复合 $f_{j-1} \cdots f_0$ 是从 $\mathrm{C}_n$ 到 $N_j\mathrm{C}_n$ 上的投影。记
$$\mathrm{C}_n = N_j\mathrm{C}_n \oplus D_j\mathrm{C}_n, \quad j = 0,1,\ldots, n-1,$$其中 $D_j\mathrm{C}_n = \ker(f_{j-1}\cdots f_0)$，且 $N_j\mathrm{C}_n \cap D_j\mathrm{C}_n = \{0\}$。特别地，$f_{n-2} \cdots f_1 f_0$ 是从 $\mathrm{C}_n$ 到 $N\mathrm{C}_n$ 上的投影，其补子群正是 $\ker(f_{n-2} \cdots f_1 f_0)$。
首先反复利用单纯恒等式证明 $D_n \subseteq \ker(f_{n-2} \cdots f_1 f_0)$。若 $s_j(y) \in D_n$，则
$$f_j(s_j(y)) = s_j(y) - s_jd_j(s_j(y)) = s_j(y) - s_j(y) = 0,$$而当 $j \geqslant i + 1$ 时，
$$ \begin{aligned} f_i(s_j(y)) &= s_j(y) - s_id_i(s_j(y)) = s_j(y) - s_is_{j-1}d_i(y) \\ &= s_j(y) - s_j(s_id_i(y)) = s_j(y - s_id_i(y)) = s_j(f_i(y)), \end{aligned} $$这说明在此情形下 $s_j$ 与 $f_i$ 可以交换。因此，对 $0 \leqslant j \leqslant n-2$，
$$f_{n-2} \cdots f_1 f_0 (s_j(y)) = f_{n-2} \cdots f_j\, s_j(f_{j-1} \cdots f_0(y))=0.$$再证 $\ker(f_{n-2} \cdots f_1 f_0) \subseteq D_n$。若 $x \in \ker(f_{n-2} \cdots f_1 f_0)$，则
$$ \begin{aligned} 0 &= f_{n-2} \cdots f_0 (x) \\ &= (\operatorname{id} - s_{n-2}d_{n-2}) \cdots (\operatorname{id} - s_{1}d_{1})(\operatorname{id} - s_{0}d_{0})(x) \\ &= x - s_{n-2}(\text{某元素}). \end{aligned} $$从而 $x = s_{n-2}(\text{某元素}) \in D_n$。
□由于 $f_{n-2}\cdots f_0 : \mathrm{C}_n \rightarrow N\mathrm{C}_n$ 是满的群同态，由群的第一同构定理得
$$N_n = \mathrm{C}_n / D_n = \mathrm{C}_n / \ker(f_{n-2} \cdots f_0) \cong N\mathrm{C}_n.$$此外，这些同构与边缘映射相容，即下图交换：
$$ \begin{array}{ccc} N\mathrm{C}_{n} & \xrightarrow{(-1)^nd_n} & N\mathrm{C}_{n-1} \\ \downarrow \wr & & \downarrow \wr \\ N_{n} & \xrightarrow{\;\partial_n\;} & N_{n-1} \end{array} $$□综上，我们得到如下结果：
参考文献
- Goerss, P. G. 和 Jardine, J. F.（2009）Simplicial Homotopy Theory。Modern Birkhäuser Classics。Basel: Birkhäuser Verlag。1999 年版重印。ISBN 978-3-0346-0188-7。可访问：https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0189-4。